Démontrer que 2 Triangles sont Égaux

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Théorie

La démonstration que deux triangles sont égaux s’effectue à partir de l’un des 3 cas d’égalité des triangles.

Deux triangles ABC et CDA dans un rectangle ABCD pour lesquels on souhaite démontrer qu’ils sont égaux. — Au sein du rectangle ABCD, comment démontrer que les triangles ABC et CDA sont égaux ?

3 Côtés (CCC)

On peut démontrer que deux triangles sont égaux en indiquant qu’ils ont trois paires de côtés de même longueur. La démonstration commence en cherchant 1 paire de côtés de même longueur. Cette 1^re paire de côtés apparait facilement puisque les deux triangles ont un côté commun.

Mise en évidence de la paire de côtés de même longueur des deux triangles : la diagonale [AC]. — Le côté [AC] est commun aux deux triangles. Il s’agit de la 1^re paire de côtés de même longueur.

On part ensuite à la recherche de deux autres paires de côtés de même longueur. Ces deux paires de côtés sont les paires de côtés opposés du rectangle ABCD. Dans un rectangle, les côtés opposés ont toujours la même longueur.

Démonstration que les deux triangles sont égaux grâce au cas d’égalité CCC : AC = AC, AB = DC, BC = AD. — [AB] et [DC] sont deux côtés opposés d’un rectangle, ils ont donc la même longueur.

[BC] et [AD] sont deux côtés opposés d’un rectangle, ils ont donc la même longueur.

Il s’agit des deux autres paires de côtés de même longueur.

Les triangles ABC et CDA ont trois paires de côtés de même longueur. On peut donc conclure que, d’après le cas d’égalité CCC, ces deux triangles sont égaux.

1 Angle entre 2 Côtés (CAC)

On peut démontrer que deux triangles sont égaux en indiquant qu’ils ont 1 paire d’angles de même mesure entre deux paires de côtés de même longueur. La démonstration commence en cherchant 1 paire d’angles de même mesure. Cette paire d’angles apparait facilement puisque tous les angles d’un rectangle mesurent 90°.

Mise en évidence d’une paire d’angles de même mesure au sein des deux triangles : ABC = CDA. — ABC et CDA sont deux angles droits d’un rectangle, ils ont donc la même mesure.

Il s’agit d’une paire d’angles de même mesure.

Pour compléter la démonstration, on doit indiquer que cette paire d’angles est entre deux paires de côtés de même longueur. Ces deux paires de côtés sont les paires de côtés opposés du rectangle ABCD. Dans un rectangle, les côtés opposés ont toujours la même longueur.

Démonstration que les deux triangles sont égaux grâce au cas d’égalité CAC : ABC = CDA, AB = DC, BC = AD. — [AB] et [DC] sont deux côtés opposés d’un rectangle, ils ont donc la même longueur.

[BC] et [AD] sont deux côtés opposés d’un rectangle, ils ont donc la même longueur.

Il s’agit de deux paires de côtés de même longueur.

Les triangles ABC et CDA ont 1 paire d’angles de même mesure entre deux paires de côtés de même longueur. On peut donc conclure que, d’après le cas d’égalité CAC, ces deux triangles sont égaux.

1 Côté entre 2 Angles (ACA)

On peut démontrer que deux triangles sont égaux en indiquant qu’ils ont une paire de côtés de même longueur entre deux paires d’angles de même mesure. La démonstration commence en cherchant 1 paire de côtés de même longueur. Cette 1^re paire de côtés apparait facilement puisque les deux triangles ont un côté commun.

Mise en évidence du côté commun des deux triangles : diagonale [AC]. — Le côté [AC] est commun aux deux triangles. Il s’agit de la 1^re paire de côtés de même longueur.

Pour compléter la démonstration, on doit indiquer que cette paire de côtés est entre deux paires d’angles de même mesure. Ces deux paires d’angles sont des paires d’angles alternes-internes. Puisque les droites (AB) et (DC) sont parallèles (côtés opposés d’un rectangle), ces angles alternes-internes ont la même mesure.

compétence associée

Associer Droites Parallèles et Angles alternes-internes

Démonstration que les deux triangles sont égaux grâce au cas d’égalité ACA : AC = AC, BAC = DCA, BCA = DAC. — BAC et DCA sont deux angles alternes-internes de même mesure.

BCA et DAC sont deux angles alternes-internes de même mesure.

Il s’agit de deux paires d’angles de même mesure.

Les triangles ABC et CDA ont une paire de côtés de même longueur entre deux paires d’angles de même mesure. On peut donc conclure que, d’après le cas d’égalité ACA, ces deux triangles sont égaux.

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