Comprendre les Propriétés de la Symétrie Centrale

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Théorie

Deux figures sont symétriques par rapport à un point si elles sont superposables par rotation de 180° autour de ce point. Le centre de symétrie est le nom donné à ce point.

Deux triangles ABC et A’B’C’ symétriques par rapport à une symétrie centrale de centre 0. — Ces deux triangles sont symétriques par rapport au point O. Si on effectue une rotation de 180° du triangle ABC autour du point O, les deux triangles se superposent. Le centre de symétrie est le point O.

La symétrie centrale possède des propriétés de conservation. L’image d’une figure par symétrie centrale conserve les longueurs, les alignements, les angles et l’aire de la figure de départ. Deux figures symétriques ont donc des longueurs, des alignements, des angles et des aires identiques.

Conservation des Longueurs

Propriété

Les segments de deux figures symétriques ont des longueurs identiques.

Dans une symétrie centrale, la longueur des segments est donc conservée. En conséquence, deux figures symétriques ont également un périmètre identique.

Dans une symétrie centrale les longueurs sont conservées : AB = A’B’ = 3 cm. — La symétrie centrale conserve la longueur des segments. Le segment [AB] et son image [A’B’] ont une longueur identique.

Conservation des Alignements

Propriété

Les points de deux figures symétriques sont alignés de la même façon.

Dans une symétrie centrale, l’alignement des points est donc conservé. En conséquence, le parallélisme est conservé. Les symétriques de deux droites parallèles sont également parallèles.

Dans une symétrie centrale l’alignement des points est conservé : Les points X, B et C sont alignés, ainsi que leurs images X’, B’ et C’. — La symétrie centrale conserve l’alignement des points. B, X et C sont alignés, donc leurs images B’, X’ et C’ sont également alignés.

Conservation des Angles

Propriété

Les angles de deux figures symétriques ont des mesures identiques.

Dans une symétrie centrale, la mesure des angles est donc conservée.

Dans une symétrie centrale la mesure des angles est conservée : L’angle CAB et son image C’A’B’ mesurent tous deux 65°. — La symétrie centrale conserve la mesure des angles. L’angle CAB et son image l’angle C’A’B’ ont une mesure identique.

Conservation des Aires

Propriété

L’aire de deux figures symétriques est identique.

Dans une symétrie centrale, l’aire des figures est donc conservée.

Dans une symétrie centrale, les aires sont conservées : Le triangles ABC et son image A’B’C’ ont une aire identique de 5 cm². — La symétrie centrale conserve l’aire des figures. Les deux triangles ont une aire identique.

à propos de l’auteur

Benoit Baudoin

Professeur particulier de mathématiques

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+372 5899 6405 benoit@math-coaching.com

Quiz

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Question 1

Exercice 1 : Comprendre les propriétés de la symétrie centrale

XYZ est l’image du triangle ABC par la symétrie centrale de centre O. Sachant que AB = 6 cm, BC = 5,5 cm et AC = 4,3 cm, quelle est la longueur de XZ ?

Question 2

Laquelle de ces propriétés de conservation ne s’applique pas à la symétrie centrale ?

Question 3

Exercice 3 : Comprendre les propriétés de la symétrie centrale

XYZ est l’image du triangle ABC par la symétrie centrale de centre O. Quelle est la mesure de l’angle XYZ ?